
\prob{0007}{四边形}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0007}
  \caption{0007：四边形} \label{fig:0007}
\end{figure}

如图~\ref{fig:0007}，在四边形$ABCD$中，$AB = BC$，$\angle ABC = 60^\circ$，$\angle ADC = 30^\circ$，求证：$AD^2 + CD^2 = BD^2$。
\problabels{yellow/平面几何, green/证明题}

\subsection{手拉手模型} \label{subsec:0007-hand}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0007-hand}
  \caption{\nameref{subsec:0007-hand}：通过作等边三角形找出$90^\circ$，然后利用手拉手模型将待求线段转入直角三角形中去。}
  \label{fig:0007-hand}
\end{figure}

基本思路：将问题转换成手拉手模型，然后通过一系列全等关系将三条线段移到一个直角三角形中去，最后利用勾股定理证明。

如图~\ref{fig:0007-hand}，以$CD$为边作等边三角形$CDE$，$E$在直线$CD$右边。连接$AC$、$AE$。

\begin{align*}
  &\because   \triangle BCD \cong \triangle ACE \ \text{（证明省略）} \\
  &\therefore BD = AE \\
  &\because   \angle CDE = 60^\circ, \angle ADC = 30^\circ \\
  &\therefore \angle ADE = 90^\circ \\
  &\therefore AD^2 + DE^2 = AE^2 \\
  &\because   CD = DE \\
  &\therefore AD^2 + CD^2 = BD^2 \\
  &\text{证毕。} \\
\end{align*}
